如何分析多个时期期权二项式定价模型?

期货 (35) 2022-02-24 03:19:34

现在应用这个定价原理(给予以无风险收益率抵补保值投资定价)对2年期的期权定价。假设2年中的每一年股票可能升值20%或者贬值10%,则1年以后股票可能从它的现行价格100美元变为120美元或者90美元。如果股票价格上涨到120美元,在第二年中它可能变为144美元(第二年仍升值20%),或者变为108美元(第二年贬值10%),另一方面,如果在**年末股票价格下跌至90美元,而在第二年末股票价格可能上升到108美元(第二年升值20%)或者继续下跌至81美元(第二年仍贬值10%),可能出现的价格由因果树描述。

现在假设有一个执行价格为110美元在第二年末到期的看涨期权。这个期权的价格与相应的股票价格也在6-1因果树中表示。*先,分析期权第二年末到期时的可能价格。因为股票期权执行价格是110美元,如果股票价格为108美元或81美元,则期权无价值;而如果股票价格为144美元,则期权价格为34美元。其次,分析**年末期权的可能价格。如果股票价格下降至90美元,第二年可能上升到108美元或下跌至81美元,在任何一种情况下,它们都低于看涨期权的执行价格,因此,如果股票在**年下降到90美元,则期权是无用的,它的市场价值为零。

另一种情况,若**年股票价格上涨至120美元,基础股票价格有再上涨至144美元的可能,则期权价格为正值。对此可以按1年期期权定价的同样方法计算第二年期权的市场价格。股票的高价格和低价格之间的差是36美元,相应的期权价格差是34美元。这意味着每买1份股票必须卖出1.0588份期权(36/34=1.0588);若要买1万份股票,则须卖出10588份期权。

倘若在第二年末股票价格上涨,投资者所持有的股票价格将为144万美元。其售出的期权将被执行,这将花费36万美元。因此,有价证券组合将有不同的价值,或许是108万美元,即如果股票价格下降至108美元,有价证券组合就是这个价值,因为在这种情况下期权不会被执行。在第二年末,投资者所持有的无风险有价证券组合的价值将为108万美元。

为在第二年初构成这种有价证券组合,投资者不得不为购买1万份股票花费120万美元,这要少于投资者卖出10588个看涨期权所得的收益。看涨期权必须以一定价格出售,这个价格使投资者在这个投资中得到无风险收益率,我们假设这个无风险投资收益率仍为10%。

现在,让我们回到**年初。基于以上分析,可知在**个周期结束时期权有两种可能,要么价格为20.61美元(如果股票价格上涨到120美元),要么无价值(如果股票价格下跌至90美元),投资者也可以再构造一个已知的确切价值。股票的高价格和低可能价格之间的差额为30美元,相应的期权差价为20.61美元。为进行抵补保值,投资者每买入1份股票,必须卖出1.4556份期权(30/20.61=1.4556),让投资者买入1万份股票,卖出14556份期权。这样,在股票价格上涨后,投资者就有一个价格为90万美元的有价证券组合。投资者的股票多头价格为120万美元;期权空头价格为30万美元(即20.61美元×14556),如果股票价格跌到90美元,投资者的有价证券组合仍然为90万美元,因为在这种情况下,期权是无用的,投资者的空头是无价值的。

因为有价证券组合是无风险的,它将产生无风险的收益率。为在**时期初构造有价证券组合,投资者必须投资于股票100万美元,这个数额再减去卖出14556份期权所得收益。如果投资者以12.49美元的价格进行这一有价证券组合,在**时期将产生10%的收益率。

因此,两年期期权均衡价格为12.49美元。请注意,这一期权与1年期看涨期权定价之间的区别仅仅在于到期期限不同。1年期的期权是根据同样的股票和同样的执行价格确定的,然而1年期期权的价格仅仅是6.06美元。正如股票收益概率分布的方差一样,如果其他因素都不变,当投资者延长了期权的到期时间,他就提高了期权的市场价值,原因在于投资者增大了股票价格变动的潜在上限。实际上股票价格变动的潜在下限也增大了,但这是不重要的,因为股票价格如果为108美元、81美元甚至为零,期权就没有意义了。期权一旦失去意义,就不会有任何差别了。

如果再扩大到3年或3年以上来分析,投资者将发现期权还会升值,然而,对于每一个相继的增长都比前一个增长来得小。并且,如果到期的时间临近期末,则期权具有的价值将接近普通股票本身具有的价值-100美元。

一个执行价格为100美元的股票跨季看涨期权定价如表6-2所示。对于1年期的看涨期权,投资者可将股票收益率变化的观测周期缩短为一个季度,在每一个季度,股票价格可能在17.5%和-15%两种百分率变化。对于期权定价,我们不必详细说明每种变化的概率,但假定其概率相等。正如我们在表中所看到的,其季度收益肯定有这种概率分布,普通股票有5种可能的年末价值。

终这树枝状分布有16个分支,每一个分支有相同的概率,仅有一个分支的股票价格为190.61美元,因此得到这个价格的概率是1/16,股票价格为137.89美元的有4个分支,因此得到这个价格的概率是1/4,请注意,股票年末价格的概率分布与每季度收益率的概率分布应该是有所不同的。季度收益率的概率分布是对称的,而股票期末价格的概率分布是向正值倾斜的。执行价格为100美元股票看涨期权在年末期满时的价格也表示在表6-2中。期权的价格可用前面介绍的同样方法计算出来。从因果分析树的末端开始,计算期权到期时的期权价格,倒算回去。

在每一种情况下,投资者计算期权价格是为了计算无风险有价证券组合产生的无风险收益率,在这个例子中,假设每季度为1.25%.

为了一个季度一个季度地保持抵补保值状态,必须不断调整股票和股票看涨期权的相对关系。在**季度开始,股票的价差是32.50美元,期权价差是20.04美元。因此,投资者每买入1份股票,必须卖出1.622份期权。

如果股票价格上涨,在第二季度股票价差为38.18美元,期权价差为31.34美元。因此,这时每买人1份股票,必须卖出1.218份期权。随着时间的推移,必须不断调整股票和期权的相对关系以维持期抵补保值。这样,情况非常接近布莱克-斯科尔斯期权定价模型的假设。

在这个例子中,假设股票收益率在任何时候为二项式的概率分布是不变的。假定为了抵补保值,在每季度末要调整资产位置。为了在抵补保值中得到无风险收益率,必须估计期权的价格。

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